#3101: Банк ФИПИ 444D03

Условие

Заказ на изготовление 198 деталей первый рабочий выполняет на 7 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что он за час изготавливает на 7 деталей больше второго?

Давайте обозначим скорость работы второго рабочего как \( x \) деталей в час. Тогда скорость работы первого рабочего будет \( x + 7 \) деталей в час.

Общее количество деталей, которое нужно изготовить, составляет 198. Время, затраченное первым рабочим на выполнение заказа, можно выразить как:
\[
\frac{198}{x + 7}
\]
А время, затраченное вторым рабочим, будет:
\[
\frac{198}{x}
\]
Согласно условию задачи, первый рабочий выполняет заказ на 7 часов быстрее, чем второй. Это можно записать в виде уравнения:
\[
\frac{198}{x} - \frac{198}{x + 7} = 7
\]

Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны уравнения на \( x(x + 7) \) для устранения дробей:
\[
198(x + 7) - 198x = 7x(x + 7)
\]
Упростим уравнение:
\[
198x + 1386 - 198x = 7x^2 + 49x
\]
Сокращая \( 198x \), получаем:
\[
1386 = 7x^2 + 49x
\]
Приведем уравнение к стандартному виду:
\[
7x^2 + 49x - 1386 = 0
\]
Теперь разделим все коэффициенты на 7:
\[
x^2 + 7x - 198 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[
D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-198) = 49 + 792 = 841
\]

Теперь найдем корни уравнения:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 29}{2}
\]
Это дает два значения:
\[
x_1 = \frac{22}{2} = 11, \quad x_2 = \frac{-36}{2} = -18
\]

Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем \( x = 11 \).

Теперь найдем скорость первого рабочего:
\[
x + 7 = 11 + 7 = 18
\]

Таким образом, первый рабочий изготавливает 18 деталей в час.