#3110: Банк ФИПИ 1E4FB8
Для решения задачи введем следующие обозначения:
x — количество литров воды, которое вторая труба пропускает за 1 минуту (в литрах в минуту). Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. То есть, скорость первой трубы будет x - 6 литров в минуту.Условие задачи:
Резервуар объемом 112 литров вторая труба заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба.
Пусть время, которое требуется второй трубе для того, чтобы заполнить резервуар, равно t2 минут. Тогда время, которое потребуется первой трубе для заполнения того же резервуара, будет t1 = t2 + 6 минут.
Время заполнения резервуара:
1. Время, которое потребуется второй трубе для заполнения резервуара объемом 112 литров, можно найти по формуле:
\( t_2 = \frac{112}{x} \), где x — скорость второй трубы в литрах в минуту.
2. Время для первой трубы:
\( t_1 = \frac{112}{x - 6} \)
Уравнение по условию:
По условию задачи известно, что вторая труба заполняет резервуар на 6 минут быстрее, чем первая, то есть:
\( t_1 = t_2 + 6 \)
Подставляем выражения для t1 и t2:
\( \frac{112}{x - 6} = \frac{112}{x} + 6 \)
Решение уравнения:
1. Умножим обе части уравнения на \( x(x - 6) \), чтобы избавиться от дробей:
\( 112x = 112(x - 6) + 6x(x - 6) \)
2. Раскроем скобки:
\( 112x = 112x - 672 + 6x^2 - 36x \)
3. Упростим уравнение:
\( 0 = -672 + 6x^2 - 36x \)
4. Переносим все в одну сторону:
\( 6x^2 - 36x - 672 = 0 \)
5. Разделим на 6, чтобы упростить уравнение:
\( x^2 - 6x - 112 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-112) = 36 + 448 = 484 \)
Корни уравнения:
\( x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 22}{2} \)
Получаем два решения:
\( x = \frac{6 + 22}{2} = 14 \) или \( x = \frac{6 - 22}{2} = -8 \)
Отрицательное значение для скорости не имеет физического смысла, поэтому оставляем x = 14.
Ответ:
Вторая труба пропускает 14 литров воды в минуту.