#3130: Банк ФИПИ 4BA055

Спасибо за уточнение! Давайте пересчитаем всё, учитывая, что плот проплыл 92 км не за 3 часа, а за всё время, пока яхта вернулась в пункт A.

Дано:
- Расстояние между пристанями A и B: \( S = 192 \) км.
- Скорость течения реки: \( v_t = 4 \) км/ч.
- Плот прошёл 92 км за всё время, пока яхта совершала путь туда и обратно.
- Яхта отправилась через 3 часа после плота, и, прибыв в пункт B, сразу вернулась в A.
- Нужно найти скорость яхты в неподвижной воде \( v_y \).

Обозначения:
- \( v_y \) — скорость яхты в неподвижной воде (которую нужно найти).
- Скорость яхты по течению будет \( v_y + 4 \) км/ч.
- Скорость яхты против течения будет \( v_y - 4 \) км/ч.

Шаг 1: Время, затраченное яхтой на путь в B и обратно
1. Яхта отправляется через 3 часа после плота. Время, которое она затратила на путь от A до B:
   \[
   t_1 = \frac{192}{v_y + 4}
   \]
   Время на обратный путь (из B в A), когда яхта движется против течения:
   \[
   t_2 = \frac{192}{v_y - 4}
   \]
   Общее время, которое яхта затратила на путь в обе стороны:
   \[
   t_{\text{яхта}} = t_1 + t_2 = \frac{192}{v_y + 4} + \frac{192}{v_y - 4}
   \]

Шаг 2: Время, затраченное плотом
Плот прошёл 92 км за всё время, пока яхта делала путь туда и обратно. Плот двигался со скоростью \( v_t = 4 \) км/ч, его время пути \( t_{\text{плот}} \) будет:
\[
t_{\text{плот}} = \frac{92}{4} = 23 \, \text{ч}
\]
Так как яхта начала движение через 3 часа после плота, то общее время, которое прошёл с момента отправления плота до возвращения яхты в A, равно \( 3 + t_{\text{яхта}} \).

Шаг 3: Составим уравнение
Время, затраченное плотом, должно совпасть с временем, прошедшим с момента отправления плота, то есть:
\[
t_{\text{плот}} = 3 + t_{\text{яхта}}
\]
Подставим выражение для \( t_{\text{плот}} \) и \( t_{\text{яхта}} \):
\[
23 = 3 + \left( \frac{192}{v_y + 4} + \frac{192}{v_y - 4} \right)
\]
Упростим уравнение:
\[
20 = \frac{192}{v_y + 4} + \frac{192}{v_y - 4}
\]
Теперь приведем дроби к общему знаменателю:
\[
\frac{192(v_y - 4) + 192(v_y + 4)}{(v_y + 4)(v_y - 4)} = 20
\]
Упростим числитель:
\[
192(v_y - 4) + 192(v_y + 4) = 192v_y - 768 + 192v_y + 768 = 384v_y
\]
И знаменатель:
\[
(v_y + 4)(v_y - 4) = v_y^2 - 16
\]
Получаем:
\[
\frac{384v_y}{v_y^2 - 16} = 20
\]
Теперь умножим обе части уравнения на \( v_y^2 - 16 \):
\[
384v_y = 20(v_y^2 - 16)
\]
Раскроем скобки:
\[
384v_y = 20v_y^2 - 320
\]
Преобразуем уравнение:
\[
20v_y^2 - 384v_y - 320 = 0
\]
Разделим все на 4:
\[
5v_y^2 - 96v_y - 80 = 0
\]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[
D = (-96)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-80) = 9216 + 1600 = 10816
\]
\[
v_y = \frac{-(-96) \pm \sqrt{10816}}{2 \cdot 5} = \frac{96 \pm \sqrt{10816}}{10}
\]
Приближенно:
\[
\sqrt{10816} = 104
\]
Подставляем:
\[
v_y = \frac{96 \pm 104}{10}
\]
Получаем два значения:
\[
v_y = \frac{96 + 104}{10} = \frac{200}{10} = 20
\]
или
\[
v_y = \frac{96 - 104}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8 \, \text{(не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)}.
\]

Ответ:
Скорость яхты в неподвижной воде составляет \( \boxed{20} \) км/ч.