Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0=70\)км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a=16\)км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \(S=v_0 t+\dfrac{a t^2}{2}\), где \(t\) - время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 123 км. Ответ дайте в минутах.
Дмитрий
Стаж: 5 лет 29 дней
Баллы: 7103 (Ас)
#3138: Банк ФИПИ FE4362
Условие
Для решения задачи используем формулу для расстояния \( S \) от города:
\[
S = v_0 t + \frac{a t^2}{2},
\]
где:
- \( v_0 = 70 \) км/ч — начальная скорость мотоциклиста,
- \( a = 16 \) км/ч² — ускорение мотоциклиста,
- \( t \) — время в часах, прошедшее после выезда,
- \( S = 123 \) км — расстояние, на которое мотоциклист удалился от города.
### Шаг 1: Подставим известные значения
Мы знаем, что \( S = 123 \) км. Подставим это значение в уравнение:
\[
123 = 70t + \frac{16t^2}{2}.
\]
Упростим правую часть:
\[
123 = 70t + 8t^2.
\]
### Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение
Переносим всё на одну сторону:
\[
8t^2 + 70t - 123 = 0.
\]
Это квадратное уравнение, которое мы решим с помощью формулы дискриминанта:
\[
D = b^2 - 4ac,
\]
где \( a = 8 \), \( b = 70 \), \( c = -123 \).
Вычислим дискриминант:
\[
D = 70^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-123) = 4900 + 3936 = 8836.
\]
Теперь найдём корни уравнения:
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-70 \pm \sqrt{8836}}{2 \cdot 8} = \frac{-70 \pm 94}{16}.
\]
У нас есть два корня:
\[
t_1 = \frac{-70 + 94}{16} = \frac{24}{16} = 1.5 \, \text{ч},
\]
\[
t_2 = \frac{-70 - 94}{16} = \frac{-164}{16} = -10.25 \, \text{ч} \, (\text{не подходит, так как время не может быть отрицательным}).
\]
### Шаг 3: Переведём время в минуты
Мы нашли, что \( t = 1.5 \) часа. Чтобы перевести это в минуты, умножим на 60:
\[
t = 1.5 \times 60 = 90 \, \text{минут}.
\]
### Ответ:
Мотоциклист удалился от города на 123 км через \( \boxed{90} \) минут.