Найдите все такие значения \(a\), при каждом из которых неравенство \(-1\leqslant\sin x(a-\cos2x)\leqslant1\) верно при всех действительных значениях \(x\).
Дмитрий
Стаж: 5 лет 28 дней
Баллы: 7125 (Ас)
#770: Графический параметр с производной
Условие
Делаем замену sinX=t. Множество значений t - отрезок [-1;1]. Переходим от двойного неравенства к системе неравенств. В каждом выражаем at через всё остальное. Дальше хочется выразить непосредственно a, но тогда надо делить неравенства на t, а оно может быть разных знаков. Поэтому, рассматриваем три случая: t=0, t>0 и t<0.
Нам нужны a, при которых оба неравенства верны при всех t∈[-1;1].
Если t=0, то оба неравенства верны при всех a.
Если t>0, то разделим на него. Знаки неравенства не изменятся. Получаем систему из двух неравенств - a больше или равно одной функции (назову её f(t)) и a меньше или равно другой функции (назову её g(t)).
a должно быть больше или равно f(t) для всех t∈(0;1]. То есть, больше или равно наибольшего значения f(t) на этом промежутке. Аналогично с g(t), но там меньше или равно минимального. Находим с помощью производной, получаем множество значений a.
Далее рассматриваем случай t<0. Делаем то же самое, получаем еще одно множество значений a.
Все эти множества пересекаем, получаем ответ.
