Математика 5 класс
Меню курса
Сравнение натуральных чисел
Сравнение по натуральному ряду
Сравнить два числа, значит определить, какое из них больше, а какое меньше.
Для того, чтобы определить, какое из двух натуральных чисел меньше, можно использовать натуральный ряд. В натуральном ряду все натуральные числа идут в порядке возрастания. Поэтому, меньшим считается то, которое в натуральном ряду идёт раньше (стоит левее, ближе к началу).
Например, число 3 меньше числа 8.
Но такой способ неудобен для практического использования. Не можем же мы каждый раз выписывать натуральный ряд, чтобы посмотреть, какое из двух чисел в нём стоит раньше. Для многозначных чисел этот способ не подходит.
Сравнение по разрядам
Условимся считать, что в последовательности 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 цифры выстроены в порядке возрастания.
Из двух натуральных чисел больше то, у которого больше разрядов.
Если количество разрядов одинаковое, то больше число, у которого больше первая (если считать слева направо) из неодинаковых цифр.
Если в двух натуральных числах одинаковое количество разрядов и все цифры в одинаковых разрядах равны, то такие числа равны.
Иными словами, если количество разрядов одинаковое, то мы смотрим на цифру, записанную в старшем (первом слева) разряде каждого из чисел. Если они разные, то больше то число, в котором эта цифра больше. Если эти цифры одинаковые, то смотрим на цифру, записанную в предыдущем разряде. Больше то число, в котором эта цифра больше. Если и здесь они одинаковые, то переходим к предыдущему разряду, и так до тех пор, пока не найдем отличающиеся цифры в одинаковых разрядах. Если таких нет, то числа равны.
Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства, применяя знаки: > (больше) или < (меньше).
Например, "число 7 меньше числа 12" можно записать так: 7<12.
Можно сравнить несколько чисел и результат записать в виде двойного неравенства (для 3 чисел) или более длинной цепочки неравенств (3 числа или больше).
Например, "число 9 больше, чем 1, но меньше, чем 82": 1<9<82 — двойное неравенство;
1<2<3<4<5<6<7<8<9 — цепочка неравенств.
Пример 1
Сравним числа 6353 и 128900.
У числа 6353 четыре разряда, а у числа 128900 шесть разрядов. Значит,
6353<128900
Пример 2
Сравним числа 73568 и 51201.
У обоих чисел по 5 разрядов. Значит, смотрим на цифру в старшем разряде каждого числа (разряд десятков тысяч). У первого числа это цифра 7, а у второго 5. Поскольку 7 больше, чем 5, то первое число больше второго (количество десятков тысяч в первом числе больше, чем во втором).
73568>51201
Пример 3
Сравним числа 110311 и 110299.
У обоих чисел по 6 разрядов. Значит, смотрим на цифру, стоящую в старшем разряде каждого их них (шестой разряд – разряд сотен тысяч). У обоих в старшем разряде стоит цифра 1. В таком случае, смотрим на предыдущий по старшинству – пятый разряд (разряд десятков тысяч). Но и здесь у обоих чисел одна и та же цифра (снова 1). Тогда переходим к четвертому разряду. В обоих числах здесь стоит 0. Значит, сравним цифры в третьем разряде. И вот здесь, наконец, они разные. У первого числа тут стоит цифра 3, а у второго цифра 2. Поскольку 3>2, то первое число больше второго:
110311>110299
Сравнение чисел на координатном луче
Точка с большей координатой лежит на координатном луче правее точки с меньшей координатой.
Иными словами, большему числу соответствует точка, лежащая на луче правее.
Например, точка A(2) лежит левее точки B(5), поскольку 2<5.
Буквенная запись чисел
Иногда удобно вместо конкретного числа писать букву. Обычно для этого используют буквы латинского алфавита. Так поступают, например, для записи правил, которые работают для всех чисел, а не только для каких-то конкретных.
Например, "одно число меньше другого" можно записать, обозначив первое число буквой \(a\), а второе буквой \(b\). Тогда эта запись будет выглядеть так: \(a< b\)
Запишем буквенно следующее правило:
Если \(a\), \(b\), \(c\) – натуральные числа, \(a< b\) и \(b< c\), то \(a< c\)
Это верно, потому что \(a< b\) означает, что число \(b\) в натуральном ряду правее числа \(a\), а \(b< c\) значит, что число \(c\) правее числа \(b\). Но из этого следует, что число \(c\) находится правее числа \(a\), то есть \(c\) больше \(a\)
Это правило будет верно и для большего количества чисел. Например, если \(a< b\), \(b< c\), \(c< d\), то \(a< d\)
Примечания:
1) На самом деле, говорить, что одна цифра больше другой некорректно. Правильнее было бы сказать, что по возрастанию идут однозначные числа, записанные этими цифрами. Но во-первых, 0 не является натуральным числом (хотя, он меньше любого натурального). А во-вторых, мне дальше удобнее говорить "цифра в третьем разряде у первого числа больше, чем у второго", поскольку в разрядах числа записаны именно цифры, а не однозначные числа. Иначе пришлось бы писать что-то вроде "однозначное число, записанное цифрой, стоящей в третьем разряде первого числа больше, чем однозначное число, записанное цифрой, стоящей в третьем разряде второго числа".
2) Левую часть неравенства можно читать в именительном падеже, а правую в родительном. Например, 78<821 можно прочесть как "Семьдесят восемь меньше восьмисот двадцати одного".
Но это же можно прочитать, поставив между числами "меньше, чем": "Семьдесят восемь меньше, чем восемьсот двадцать один"