31 вариант ЕГЭ Ященко 2024

В треугольнике АВС угол С равен 46°, AD и BE – биссектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы \(\vec{a}(14;-2)\) и \(\vec{b}(-7;-1)\). Найдите \(\cos\alpha\), где \(\alpha\) - угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми DC₁ и BD. Ответ дайте в градусах.

В классе 16 учащихся, среди них два друга – Юра и Борис. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Юра и Борис окажутся в одной группе.

Комната освещается тремя лампами. Вероятность того, что в течение года лампа перегорит, равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Найдите корень уравнения \(\dfrac1{2x-3}=\dfrac18\)

Найдите значение выражения \(4^{1-2\log_{0,5} 3 }\)

На рисунке изображён график \(y = f ' (x)\) – производной функции \(f(x)\), определённой на интервале \((-9; 6)\). Найдите количество точек минимума функции \(f(x)\), принадлежащих отрезку \([-8; 5]\).

​

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a\) в км/ч². Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 км, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

Катер в 8:40 вышел из пунтка А в пункт В, расположенный в 48 км от А. Пробыв 40 минут в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:20 того же дня. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 2 км/ч.

На рисунке изображены графики двух функций вида \(y=kx+b\), которые пересекаются в точке \(A(x_0;y_0)\). Найдите \(x_0\).

Найдите наименьшее значение функции \(y=4\sin x\ -6x+7\) на отрезке \(\left[-\dfrac{3\pi }{2};0\right]\)

а) Решите уравнение \(2\sin^2\left(\dfrac{\pi}2-x\right)+\sin2x=0\).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ 3\pi; \dfrac{9\pi}{2}\right]\).

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

б)

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М – середина ребра AB. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки M и D. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.
a) Докажите, что KM = KD.
б) Найдите объем пирамиды CDKM.

Решите неравенство \(x^2\log_{64} (3-2x)\ \geqslant \log_2 \left(4x^2-12x+9\right)\ \)

В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;
– выплаты в 2026 и 2027 годах равны;
– к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.
​На сколько тысяч рублей последняя выплата будет больше первой?

Две окружности касаются внутренним образом в точке С. Вершины А и В равнобедренного прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая АС вторично пересекает большую окружность в точке Е, а прямая ВС вторично пересекает меньшую окружность в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и BE параллельны.
​б) Найдите АС, если радиусы окружностей равны 3 и 4.

Найдите все значения параметра \(a\), при которых система \(\begin{cases} \sqrt{16-y^2}=\sqrt{16-a^2x^2}\\ x^2+y^2=8x+4y\end{cases}\) имеет ровно два различных решения.

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы - цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.
а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?
б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?
в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Введите ответ в форме строки "да;да;12:34". Где ответы на пункты разделены ";", первые два ответа с маленькой буквы, а третий в виде несократимой дроби через двоеточие ":".