9.3. Задачи с тригонометрическими выражениями (Задачи ЕГЭ профиль)

Мяч бросили под углом \(\alpha\) к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле \(t=\dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}\). При каком значении угла \(\alpha\) (в градусах) время полета составит 2,6 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью \(v_0=13\, м/с\)? Считайте, что ускорение свободного падения \(g=10\, м/с^2\)

Двигаясь со скоростью \(v=5\,м/с\), трактор тащит сани с силой \(F=100\,кН\), направленной под острым углом \(\alpha\) к горизонту. Мощность, развиваемая трактором, вычисляется по формуле \(N=Fv\cos\alpha\). Найдите, при каком угле \(\alpha\) (в градусах) эта мощность будет равна \(250 \,кВт\) (кВт - это кН∙м/с).

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью \(v=5\) м/с под острым углом к рельсам. От толчка платформа начинает двигаться со скоростью \(u=\dfrac{m\cdot v\cdot\cos{\alpha}}{m+M}\) (м/с), где \(m=70\) кг – масса скейтбордиста со скейтом, а \(M=280\) кг – масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha\) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,5 м/с? Ответ дайте в градусах.

Плоский замкнутый контур площадью \(S = 0{,}625\,м^2\) находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой \(ε_i = a S\cos \alpha\), где \(\alpha\) – острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, \(a=16\cdot 10^{-4} \,Тл/с\) – постоянная, \(S\) – площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в \(м^2\)). При каком минимальном угле \(\alpha\) (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать \(5⋅10^{-4}\, В\)?

Плоский замкнутый контур площадью \(S=1{,}25\,м^2\) находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой определяется формулой: \(ε_i=aS\cos{γ}\), где \(γ\) - острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, \(a=8\cdot 10^{-4}\,Тл/с\) - постоянная, \(S\,(м^2)\) - площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле. При каком минимальном угле \(γ\) ЭДС индукции не будет превышать \(5\cdot 10^{-4}\,В\)? Ответ дайте в градусах

Трактор тащит сани с силой \(F=90\) кН, направленной под острым углом \(\alpha\) к горизонту. При скорости трактора \(v=6\) м/с мощность равна \(N=Fv\cos{a}\) (кВт). При каком максимальном угле \(\alpha\) эта мощность будет не менее 270 кВт? Ответ дайте в градусах.

Груз массой \(0{,}26\) кг колеблется на пружине. Его скорость \(v\) (в м/с) меняется по закону \(v = v_0\sin{\dfrac{2\pi t}{T}}\), где \(t\) - время с момента начала колебаний в секундах, \(T = 12\) c - период колебаний,\(v_0 = 4\) м/с. Кинетическая энергия \(E\) (в Дж) груза вычисляется по формуле \(E = \dfrac{mv^2}{2}\), где \(m\) - масса груза (в кг), \(v\) - скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза через 5 с после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Очень легкий заряженный металлический шарик зарядом \(q=5\cdot10^{-6}\)  Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет \(v=6\) м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции \(B\) которого лежит в той же плоскости и составляет угол \(\alpha\) с направлением движения шарика. Значение индукции поля \(B=6\cdot10^{-3}\)  Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная \(F_л = qvB\sin\alpha\) (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла \(\alpha\in[0°;180°]\) шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила \(F_л\) была не менее, чем \(9\cdot10^{-8}\) Н? Ответ дайте в градусах.

Катер должен пересечь реку шириной \(L = 100\) м и со скоростью течения \(u =0{,}5\) м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением \(t=\dfrac{L}{u}\mathrm{ctg\,}\alpha\), где \(\alpha\) − острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом \(\alpha\) (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью \(v = 3\, м/с\) под острым углом \(\alpha\) к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью \(u=\dfrac{m}{m+M} \cdot v\cdot \cos \alpha\) (м/с), где \(m=60\, кг\) − масса скейтбордиста со скейтом, а \(M = 300 \,кг\) − масса платформы. Под каким максимальным углом \(\alpha\) (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25м/с?