20 вариант ЕГЭ Ященко 2025

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 48. Найдите ее среднюю линию.

На координатной плоскости изображены векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Найдите \(\cos\alpha\), где \(\alpha\) - угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)

​

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 12√2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

​

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 25 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 13 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, то выступление исполнителя из России состоится в последний день конкурса?

Ваня бросил игральный кубик, и у него выпало больше 2 очков. Петя бросил игральный кубик, и у него выпало меньше 5 очков. Найдите вероятность того, что у Пети выпало очков меньше, чем у Вани.

Решите уравнение \(\sqrt{3x+22}=2-x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Найдите значение выражения \(0{,}75^{\frac14}\cdot4^{\frac12}\cdot12^{\frac34}\)

Материальная точка движется прямолинейно по закону \(x(t)=-t^3+6t+10\), где \(x\) – расстояние от точки отсчета в метрах, \(t\) – время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U=U_0\sin{(ωt+\varphi)}\), где \(t\) – время в секундах, амплитуда \(U_0=2\,В\), частота \(ω=120°/с\), фаза \(\varphi=45°\). Датчик настроен так, что если напряжение в нем не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Имеется два сосуда. Первый содержит 50 кг, а второй - 10 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 52% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

На рисунке изображены графики функций \(f(x)=ax^2+bx+c\) и \(g(x)=2x^2+7x+2\), которые пересекаются в точках \(A(0;2)\) и \(B(x_B;y_B)\). Найдите \(x_B\).

​

Найдите точку максимума функции \(y=1{,}5x^2-27x+54\ln x-7\)

а) Решите уравнение \(\log^2_4(\cos2x)=\log_{\frac1{16}}(\cos2x)\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[3\pi;\dfrac{9\pi}2\right]\)

Выберите все верные ответы на пункты а) и б). Запишите их номера по возрастанию, через запятую, без пробелов.

а)

б)

Основанием четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является прямоугольная трапеция ABCD, в которой ∠BAD=90°, а основания AB и CD соответственно равны c и b.
а) Докажите, что если c=2b, то объёмы многогранников, на которые призму ABCDA₁B₁C₁D₁ делит плоскость CDA₁, относятся как 5:4.
б) Объёмы многогранников DA₁D₁CB₁C₁ и ADA₁BCB₁, на которые призму ABCDA₁B₁C₁D₁ делит плоскость CDA₁, соответственно равны 50 и 40. Найдите высоту призмы ABCDA₁B₁C₁D₁, если CD=3, а AD=2.

Решите неравенство \(4^{9|x|-4x^2}\cdot9^{4|x|}\geqslant1\)

В сентябре 2027 года Мария планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере 4,5 млн рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе 2028, 2029 и 2030 годов долг увеличивается на r% от суммы долга на конец предыдущего года;
- в январе 2031, 2032 и 2033 годов долг увеличивается на (r-3)% от суммы долга на конец предыдущего года;
- в период с февраля по август необходимо выплатить часть долга;
- в сентябре каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года;
- к сентябрю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 7,2 млн рублей. Сколько рублей составит выплата 2032 года?

В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона AB равна a, а основание AD=c больше основания BC=b. Построена окружность, касающаяся сторон AB, CD и AD.
а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону BC, то b+c<2a.
б) Найдите длину той части средней линии трапеции ABCD, которая находится внутри окружности, если c=12, b=6, a=10.

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\begin{cases}(|x-1|+|x+1|-4)^2+(|y-1|+|y+1|-2)^2=4\\ay=x+5\end{cases}\) имеет одно или два решения.

Дано четырёхзначное число \(\overline{abcd}\), где a, b, c и d - соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём a≠0.
а) Может ли произведение a·b·c·d быть больше суммы a+b+c+d в 5 раз?
б) Цифры a, b, c и d попарно различны. Сколько существует различных чисел \(\overline{abcd}\) таких, что a·b·c·d>a+b+c+d?
в) Известно, что a·b·c·d=k(a+b+c+d), где k - двузначное число. При каком наибольшем значении \(\overline{abcd}\) число k будет наибольшим?

Введите ответ в форме строки "да;45;14". Где ответы на пункты разделены ";", и первый ответ с маленькой буквы.